Singular Value Decomposition et ACP

\(\boldsymbol{X}\) est la matrice des données, elle a \(n\) lignes et \(d\) colonnes. On peut la voir comme une application de \(\R^d\) dans \(\R^n\).

La décomposition en valeurs sigulières

\[\boldsymbol{X} = \boldsymbol{U}\boldsymbol{D}\boldsymbol{V^\intercal},\]

où * \(\boldsymbol{U}\) est une matrice \(n\times n\) orthogonale \(\boldsymbol{U} \boldsymbol{U}^\intercal = \boldsymbol{I}_n,\) * \(\boldsymbol{V}\) est une matrice \(d\times d\) orthogonale \(\boldsymbol{V} \boldsymbol{V}^\intercal = \boldsymbol{I}_d,\) * \(\boldsymbol{D}\) est une matrice \(n \times d\), diagonale au sens où seuls les termes \(D_{ii}\) sont non nuls.